到目前为止，我们已经看到了热学、电学和力学方面的例子。实际上，这些都属于工程学方面的例子。然而，Modelica 并不严格局限于工程学科。为了强调这一点，本节将介绍一个基于捕食者与猎物物种之间关系的常见生态系统动力学模型。我们将使用的方程是 [洛特卡]-[沃尔泰拉] 方程。

经典洛特卡-沃尔泰拉模型

经典的洛特卡-沃尔泰拉模型涉及两种物种。其中一种是“猎物”物种。在本节中，猎物物种的种群数量将用 表示。另一种是“捕食者”物种，其种群数量将用 表示。

在洛特卡-沃尔泰拉系统中存在三个重要的效应。第一个是“猎物”物种的繁殖。假设繁殖与种群数量成正比。如果您熟悉化学反应，那么这个概念与质量作用定律（Guldberg）是相同的。如果您不熟悉质量作用定律，只需考虑：环境中潜在的配偶越多，繁殖发生的可能性就越大。我们可以用数学方式来表示这一点：

其中，代表猎物数量， 表示由于繁殖而引起的猎物数量变化，则是反映成功繁殖可能性的常数比例。

接下来要考虑的影响是捕食者物种的“饥饿”现象。如果周围没有足够的“猎物”可供捕食，捕食者物种就会灭绝。在模拟饥饿现象时，必须考虑竞争的影响。我们又有了一个比例关系，但这次是反向的，因为与猎物繁殖不同，捕食者越多，饥饿的可能性就越大。这在数学上表达的方式与繁殖类似：

其中， 代表捕食者群体数量， 代表由于饥饿导致的捕食者数量变化， 则是反映饥饿发生可能性的常数比例。

最后，我们需要考虑的最后一个效应是“捕食”，即捕食者物种对猎物物种的捕食行为。如果没有捕食者，猎物物种（至少在数学模型中）将会呈指数式增长。因此，捕食是控制猎物物种数量的关键因素。同样，如果没有任何猎物，捕食者物种将会灭绝。所以捕食起到了平衡作用，使捕食者物种的数量不至于降为零。同样，这里也存在比例关系。但这次实际上是一种双线性关系，与“质量作用定律”在概念上是相似的。这种关系只是通过数学方式捕捉到了这样一个事实：捕食者发现并捕食猎物的几率与猎物和捕食者的数量成正比。由于这种特定效应需要两个物种都参与其中，所以这种数学关系与繁殖和饥饿的情况相比，结构稍有不同，即

其中， 表示由于捕食导致的猎物数量减少，表示由于捕食导致的捕食者数量增加， 是表示猎物被消耗可能性的比例常数，是表示捕食者有足够的额外营养来支持繁殖的可能性的比例常数。

这个比例常数表示了捕食者能够获得足够额外营养以支持繁殖的可能性大小。

综合考虑各种影响因素，每个种群的总体变化可以用以下两个方程式来表示：

利用之前的关联关系，我们可以将这两个方程中的右侧各项展开为：

利用我们到目前为止学到的知识，将这些方程式转换为 Modelica 语言应该是相当简单的：

model ClassicModel "This is the typical equation-oriented model"
  parameter Real alpha=0.1 "Reproduction rate of prey";
  parameter Real beta=0.02 "Mortality rate of predator per prey";
  parameter Real gamma=0.4 "Mortality rate of predator";
  parameter Real delta=0.02 "Reproduction rate of predator per prey";
  parameter Real x0=10 "Start value of prey population";
  parameter Real y0=10 "Start value of predator population";
  Real x(start=x0) "Prey population";
  Real y(start=y0) "Predator population";
equation
  der(x) = x*(alpha-beta*y);
  der(y) = y*(delta*x-gamma);
end ClassicModel;

此时，我们还没有讨论完的一件事就是 x 和 y 上的“start”属性的存在情况。正如我们在上一节“获取物理信息”中提到的牛顿冷却示例中所看到的那样，变量具有各种我们可以指定的属性（有关可用属性的详细讨论，请参阅即将出现的关于内置类型的章节）。我们之前讨论过单位属性，但这是我们第一次见到“start”属性。
细心的读者可能会注意到存在 x0 和 y0 这两个参数变量，并且它们代表的是初始数量。根据之前的例子，人们可能会预期这些初始条件能在模型中这样被体现出来：

model ClassicModelInitialEquations "This is the typical equation-oriented model"
  parameter Real alpha=0.1 "Reproduction rate of prey";
  parameter Real beta=0.02 "Mortality rate of predator per prey";
  parameter Real gamma=0.4 "Mortality rate of predator";
  parameter Real delta=0.02 "Reproduction rate of predator per prey";
  parameter Real x0=10 "Initial prey population";
  parameter Real y0=10 "Initial predator population";
  Real x(start=x0) "Prey population";
  Real y(start=y0) "Predator population";
initial equation
  x = x0;
  y = y0;
equation
  der(x) = x*(alpha-beta*y);
  der(y) = y*(delta*x-gamma);
end ClassicModelInitialEquations;

然而，在“经典模型”示例中，我们采取了一个较为简便的处理方式。正如接下来在“初始化”部分所讨论的那样，我们可以通过直接在变量上指定“start”属性的值来设定初始条件。

值得注意的是，这种方法既有优点也有缺点。其优点在于灵活性。start 属性实际上更像是一个提示而非绑定关系。如果 Modelica 编译器将某个特定变量识别为状态（即需要初始条件的变量），并且模型中通过初始方程部分已经明确指定了不足的初始条件，那么它可以将 start 属性用作与其相关变量的初始条件。换句话说，如果需要初始条件，你可以将 start 属性视为“备用初始条件”。

“start”属性存在一些需要注意的缺点。首先，它只是一个提示，工具可能会完全忽略它。其次，是否会被忽略也难以预测，因为不同的工具对于哪些变量应被视为状态会有不同的选择。

避免这两种缺点的一种方法是使用“固定”属性（在“内置类型”部分也有介绍）。使用“固定”属性可以告知编译器“开始”属性必须用作初始条件。换句话说，就像这样的一个初始等式：

  Real x;
initial equation
  x = 5;

这等同于以下使用“start”和“fixed”属性的声明：

Real x(start=5, fixed=true);

最后，还有一个额外的复杂情况是，“start”属性也被“重载”了。这意味着它实际上用于两种不同的用途。如果所讨论的变量不是状态变量，而是“迭代变量”（即其解取决于非线性方程组的变量），那么模型库编译器可能会将“start”属性用作初始猜测值（即在非线性求解器的初始迭代过程中用于该变量的值）。

是否需要指定“开始”属性，取决于您希望严格遵守何种程度的初始条件。了解这一点需要具备使用该语言的经验，而这也超出了本章的讨论范围。不过，至少值得指出的是，存在不同的选项，并且会有一个基本的权衡解释。

无论采用哪种初始化方法，这些模型的结果都会相同。在该图中可以看到洛特卡 - 沃尔泰拉系统的典型表现：

请注意每个种群的周期性变化。起初，捕食者数量多于现有食物供应所能支持的数量。那些存在的捕食者会捕食它们能找到的所有猎物。然而，仍会发生一些饥饿现象，捕食者数量因此减少。在此期间，捕食者消耗猎物物种的速度如此之快，以至于猎物物种的繁殖速度不足以弥补因被捕食而损失的数量，因此猎物数量也相应减少。

在某个时候，捕食者的数量会急剧减少，以至于被捕食者的消耗所导致的被捕食者的死亡率低于被捕食者自身的繁殖率，于是被捕食者数量开始回升。由于捕食者种群的回升所需时间更长，因此被捕食者所经历的增长暂时不受捕食的限制。最终，由于捕食者的数量因被捕食者的大量存在而开始回升，整个系统又会恢复到最初的捕食者和被捕食者数量状态，然后这个循环就会无限重复下去。

该系统反复回到相同的初始状态这一事实（当然，这里不考虑数值误差）是该系统最有趣的特点之一。而考虑到洛特卡-沃尔泰拉方程组实际上是非线性的这一事实，这一点就显得更加令人惊叹了。

稳态初始化

让我们设想一下，这些物种数量的剧烈波动可能会带来一些不利的生态后果。在这种情况下，了解如何能够减少甚至消除这些波动就变得很有必要。一个简单的方法是让种群保持在平衡状态。但我们如何利用这些模型来帮助我们确定这种“静止”的状态呢？

答案在于初始条件。我们不必为捕食者和猎物两种物种分别设定初始种群数量，而是可以选择用其他一些方程来初始化系统，这些方程能够一定程度上反映出系统处于平衡状态（您可能还记得之前讨论过的“一阶稳态”模型中的这个技巧）。幸运的是，Modelica 在初始化方面的方法足够丰富，能够让我们指定这种（以及许多其他）有用的初始条件。

为确保我们的系统能以平衡状态启动，我们只需明确什么是平衡状态即可。从数学角度来讲，如果满足以下两个条件，那么该系统即处于平衡状态：

为了在我们的 Modelica 模型中实现这一点，我们只需在初始方程部分使用这些方程即可，比如这样：

model QuiescentModel "Find steady state solutions to LotkaVolterra equations"
  parameter Real alpha=0.1 "Reproduction rate of prey";
  parameter Real beta=0.02 "Mortality rate of predator per prey";
  parameter Real gamma=0.4 "Mortality rate of predator";
  parameter Real delta=0.02 "Reproduction rate of predator per prey";
  Real x "Prey population";
  Real y "Predator population";
initial equation
  der(x) = 0;
  der(y) = 0;
equation
  der(x) = x*(alpha-beta*y);
  der(y) = y*(delta*x-gamma);
end QuiescentModel;

与我们之前的模型相比，此模型的主要区别在于存在那些突出显示的初始方程。观察这个模型时，您可能会好奇那些初始方程到底意味着什么。毕竟，我们需要求解的是 x 和 y。但这些变量甚至没有出现在我们的初始方程中。那么，它们是如何求解出来的呢？

答案在于要理解函数 和 的求解是通过从一些初始方程出发来对微分方程进行积分实现的。在模拟过程中，我们发现 和 是通过以下方程相互关联的：

（当然， 与 之间也存在着类似的关系）

然而，在系统初始化阶段（即在求解初始条件时）这种关系并不成立。所以在这种情况下，和 之间不存在“耦合”关系（和 也是如此）。换句话说，知道或并不能让你知道如何计算 或 。结果就是，对于初始化问题，我们可以将 、、 和 视为四个独立的变量。

换句话说，在模拟过程中，我们通过积分 来求解 。因此，这个积分方程就是用于求解 X 的方程。但在初始化阶段，我们不能使用这个方程，所以我们需要另外一个方程（对于我们在模拟过程中原本会执行的每次积分操作而言）。

无论如何，关键在于在初始化过程中，我们需要四个不同的方程才能得出唯一的解。对于我们的“稳态模型”而言，这四个方程分别是：

非常重要的是要明白，这些方程式之间并不相互矛盾。特别是如果你有编程背景的话，你可能会看到前两个方程式然后思考：“那么 是什么？它是零还是 呢？” 答案是两者皆是。没有理由这两个方程式不能同时成立！

这里需要记住的关键点是，这些是方程，而非赋值语句。下面这个方程组在数学上是等价的，并且更清晰地展示了如何求解 和 ：

以这种形式来看，我们更容易理解如何得出 和 的值。首先要注意的是，我们无法明确地求出 和 的值。换句话说，我们无法将这些方程重新整理成这种形式，除非 也出现在等式的右边。因此，我们必须面对这样一个事实，即这是一个涉及 和 的联立方程组。

但这种情况还因这样一个事实而变得更加复杂：该系统是非线性的（这也是我们无法使用线性代数来得出一组明确方程的原因）。实际上，如果我们仔细研究这些方程，就能发现存在两种可能的解。其中一种解是简单的 ，而另一种则不然。

那么，如果我们尝试模拟我们的“静止模型”会怎样呢？从下面的图表中可以很容易地看出答案：

最终我们得到了一个简单的结果，即猎物和捕食者的数量都为零。在这种情况下，既没有繁殖，也没有捕食，更没有饥饿现象，因为所有这些影响都与数量（即零）成正比，所以一切都没有变化。但这个结果并不是很有趣。

由于这个方程组是非线性的，所以有两组解。我们如何让非线性求解器避开这个简单的解呢？如果您在讨论经典洛特卡-沃尔泰拉模型时认真听了，那么您应该已经得到了答案的提示。

请回想一下，“start”属性是具有多重含义的。在我们讨论经典洛卡-沃尔特模型时，曾指出“start”属性的一个作用是，在选择具有“start”属性的变量作为迭代变量时，它能提供一个初始猜测值。那么，我们的“静止模型”恰好就是一个这样的情况，其中 x 和 y 实际上是迭代变量，因为它们必须通过一组非线性方程来求解。这意味着，如果我们想要避免平凡解，就需要为 x 和 y 的“start”属性指定“远离”我们试图避免的平凡解的值（或者至少更接近我们所寻求的非平凡解）。例如：

model QuiescentModelUsingStart "Find steady state solutions to LotkaVolterra equations"
  parameter Real alpha=0.1 "Reproduction rate of prey";
  parameter Real beta=0.02 "Mortality rate of predator per prey";
  parameter Real gamma=0.4 "Mortality rate of predator";
  parameter Real delta=0.02 "Reproduction rate of predator per prey";
  Real x(start=10) "Prey population";
  Real y(start=10) "Predator population";
initial equation
  der(x) = 0;
  der(y) = 0;
equation
  der(x) = x*(alpha-beta*y);
  der(y) = y*(delta*x-gamma);
end QuiescentModelUsingStart;

该模型为我们确定了一组更符合我们最初期望的初始条件（即，其中捕食者和猎物两种物种的种群数量均不为零）。

需要指出的是（正如我们在关于内置类型的章节中很快会阐述的那样），“start”属性的默认值为零。这就是为什么在我们模拟原始的“静止模型”时，结果恰好恰好是那个简单的解……因为这是我们的初始猜测，而且恰好是一个精确的解，所以无需其他解法或迭代操作。

避免重复

我们已经看到了基于洛特卡-沃尔泰拉方程的几种不同的模型（经典模型、静止模型以及使用启动的静止模型）。您有没有注意到它们的共同之处呢？仔细观察就会发现，它们几乎有着完全相同的特征，实际上它们之间几乎没有任何差异！

在软件工程领域，有一句谚语说“冗余是万恶之源”。而实际情况在这里也并无不同（很大程度上是因为 Modelica 代码本身就是软件）。我们目前编写的代码维护起来会非常麻烦。这是因为我们发现的任何错误都必须在每个模型中进行修正。此外，我们所做的任何改进也都必须应用于每个模型。到目前为止，我们只处理着相对较少的模型。但这种“复制粘贴”的模型开发方式会导致模型数量大幅增加，而它们之间的差异却微乎其微。

那么该如何解决这个问题呢？在面向对象编程语言中，主要有两种机制可以减少冗余代码。它们分别是组合（我们将在关于组件的下一章中详细探讨）和继承（在此我们仅作简要介绍）。

如果我们仔细查看“静止模型使用起始值”示例，就会发现它与我们最初的“经典模型”版本几乎没有任何区别。实际上，真正的区别仅体现在这里:

model ClassicModel "This is the typical equation-oriented model"
  parameter Real alpha=0.1 "Reproduction rate of prey";
  parameter Real beta=0.02 "Mortality rate of predator per prey";
  parameter Real gamma=0.4 "Mortality rate of predator";
  parameter Real delta=0.02 "Reproduction rate of predator per prey";
  parameter Real x0=10 "Start value of prey population";
  parameter Real y0=10 "Start value of predator population";
  Real x(start=x0) "Prey population";
  Real y(start=y0) "Predator population";
equation
  der(x) = x*(alpha-beta*y);
  der(y) = y*(delta*x-gamma);
end ClassicModel;

model QuiescentModelUsingStart "Find steady state solutions to LotkaVolterra equations"
  parameter Real alpha=0.1 "Reproduction rate of prey";
  parameter Real beta=0.02 "Mortality rate of predator per prey";
  parameter Real gamma=0.4 "Mortality rate of predator";
  parameter Real delta=0.02 "Reproduction rate of predator per prey";
  Real x(start=10) "Prey population";
  Real y(start=10) "Predator population";
initial equation
  der(x) = 0;
  der(y) = 0;
equation
  der(x) = x*(alpha-beta*y);
  der(y) = y*(delta*x-gamma);
end QuiescentModelUsingStart;

换句话说，唯一的实质性区别在于新增了初始方程部分（原来的经典模型已经为我们的两个变量 x 和 y 设定了非零的初始值）。理想情况下，我们可以通过仅根据该模型与另一个模型之间的差异来定义模型，从而避免任何冗余代码。事实证明，这正是 extends 关键字所允许我们做到的。以下是一个替代 QuiescentModelUsingStart 模型的示例：

model QuiescentModelWithInheritance "Steady state model with inheritance"
  extends ClassicModel;
initial equation
  der(x) = 0;
  der(y) = 0;
end QuiescentModelWithInheritance;

请注意“extends”关键字的存在。从概念上讲，这个“extends 语句”只是要求编译器将另一个模型（在此例中为“ClassicModel”）的内容插入到正在定义的模型中。这样一来，我们就能够复制（或“继承”）“ClassicModel”中的所有内容，而无需重复其内容。因此，具有继承性的“QuiescentModelWithInheritance”与“ClassicModel”相同，只是多插入了一组初始方程。

但要是存在这样一种情况呢，即我们并不完全想要我们所继承的模型中所包含的内容？比如说，如果我们想要更改伽马和德尔塔参数的值，那该怎么办？

Modelica 通过允许我们在使用“extends”关键字时包含一组“修改”来解决这个问题。这些修改位于被继承模型的名称之后，如下所示：

model QuiescentModelWithModifications "Steady state model with modifications"
  extends QuiescentModelWithInheritance(gamma=0.3, delta=0.01);
end QuiescentModelWithModifications;

另外需要注意的是，我们本可以继承自 ClassicModel 类，但那样的话我们就需要重复最初的方程式，以获得静止的初始条件。但通过选择继承自 QuiescentModelWithModifications 类，我们则可以复用来自两个不同模型的内容，并且完全避免了重复工作，甚至一次都不需要重复。