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分形与混沌之-Mandelbrot集合
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分形与混沌

自然界的很多事物,例如树木、云彩、山脉、闪电、雪花以及海岸线等等都呈现出传统的几何学不能 描述的形状。这些形状都有如下的特性:

有着十分精细的不规则的结构

整体与局部相似,例如一根树杈的形状和一棵树很像

分形几何学就是用来研究这样一类的几何形状的科学,借助计算机的高速计算和图像显示,使得我们 可以更加深入地直观地观察分形几何。

Mandelbrot集合

Mandelbrot(曼德布洛特)集合是在复平面上组成分形的点的集合。

Mandelbrot集合的定义(摘自维基百科) Mandelbrot集合可以用下面的复二次多项式定义:

其中c是一个复参数。对于每一个c,从z=0开始对函数 fc(z) 进行迭代。 序列 (0,fc(0),fc(fc(0)),fc(fc(fc(0))),…) 的值或者延伸到无限大,或者只停留在有限半径的圆盘 内。 Mandelbrot集合就是使以上序列不发散的所有c点的集合。

从数学上来讲,Mandelbrot集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于Mandelbrot集合,或 者不是。

用程序绘制Mandelbrot集合时不能进行无限次迭代,最简单的方法是使用逃逸时间(迭代次数)进行绘 制,具体算法如下:

判断每次调用函数 fc(z) 得到的结果是否在半径R之内,即复数的模小于R

记录下模大于R时的迭代次数

迭代最多进行N次

不同的迭代次数的点使用不同的颜色绘制

输出图如下:

代码如下:

# -*- coding: utf-8 -*-
# by whyx 2016/6

import numpy as np
import pylab as pl
from math import log
import time
from matplotlib import cm

def iter_point(c):
z = c
for i in xrange(1, 100): # 最多迭代100次
if abs(z)>2.0: break # 半径大于2则认为逃逸
z = z*z+c
return i # 返回迭代次数

escape_radius = 2.0
iter_num = 100

def smooth_iter_point(c):
z = c
for i in xrange(1, iter_num):
if abs(z)>escape_radius: break
z = z*z+c

absz = abs(z)
if absz > 2.0:
mu = i - log(log(abs(z),2),2)
else:
mu = i
return mu # 返回正规化的迭代次数


def draw_mandelbrot(cx, cy, d):

# 绘制点(cx, cy)附近正负d的范围的Mandelbrot

(x0, x1, y0, y1) = (cx-d, cx+d, cy-d, cy+d)

y, x = np.ogrid[y0:y1:200j, x0:x1:200j]

c = x + y*1j
start = time.clock()
mandelbrot = np.frompyfunc(smooth_iter_point,1,1)(c).astype(np.float)
print "time=",time.clock() - start #时间单位 秒
pl.imshow(mandelbrot, cmap=cm.Blues_r, extent=[x0,x1,y0,y1])
pl.gca().set_axis_off()

x,y = 0.27322626, 0.595153338

pl.subplot(231)
draw_mandelbrot(-0.5, 0, 1.5)
for i in range(2,7):
pl.subplot(230+i)
draw_mandelbrot(x, y, 0.2**(i-1))

pl.subplots_adjust(0.02, 0, 0.98, 1, 0.02, 0)
pl.show()

 


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