| 分形与混沌之-迭代函数系统(IFS)
迭代函数系统是一种用来创建分形图案的算法，它所创建的分形图永远是绝对自相似的。下面我们直
接通过绘制一种蕨类植物的叶子来说明迭代函数系统的算法：
有下面4个线性函数将二维平面上的坐标进行线性映射变换：
x(n+1）= 0; y(n+1) = 0.16 * y(n)
x(n+1) = 0.2 * x(n) ? 0.26 * y(n); y(n+1) = 0.23 * x(n) + 0.22 * y(n) + 1.6
x(n+1) = ?0.15 * x(n) + 0.28 * y(n); y(n+1) = 0.26 * x(n) + 0.24 * y(n) + 0.44
x(n+1) = 0.85 * x(n) + 0.04 * y(n); y(n+1) = ?0.04 * x(n) + 0.85 * y(n) + 1.6
所谓迭代函数是指将函数的输出再次当作输入进行迭代计算，因此上面公式都是通过坐标
x(n),y(n) 计 算变换后的坐标 x(n+1),y(n+1)。
现在的问题是有4个迭代函数，迭代时选择哪个函数进行计算呢？
我们为每个函数指定一个概率值，它们依次为1%, 7%, 7%和85%。选择迭代函数时使用通过每个函数的
概率随机选择一个函数进行迭代。
上面的例子中，第四个函数被选择迭代的概率最高。
最后我们从坐标原点(0,0)开始迭代，将每次迭代所得到的坐标绘制成图，就得到了叶子的分形图案。
下面的程序演示这一计算过程：
#
-*- coding: utf-8 -*-
# by whyx 2016/6
import numpy as np
import pylab as pl
from math import log
import time
from matplotlib import cm
# 蕨类植物叶子的迭代函数和其概率值
eq1 = np.array([[0,0,0],[0,0.16,0]])
p1 = 0.01
eq2 = np.array([[0.2,-0.26,0],[0.23,0.22,1.6]])
p2 = 0.07
eq3 = np.array([[-0.15, 0.28, 0],[0.26,0.24,0.44]])
p3 = 0.07
eq4 = np.array([[0.85, 0.04, 0],[-0.04, 0.85,
1.6]])
p4 = 0.85
def ifs(p, eq, init, n):
# 进行函数迭代
# p: 每个函数的选择概率列表
# eq: 迭代函数列表
# init: 迭代初始点
# n: 迭代次数
#返回值： 每次迭代所得的X坐标数组， Y坐标数组， 计算所用的函数下标
# 迭代向量的初始化
pos = np.ones(3, dtype=np.float)
pos[:2] = init
# 通过函数概率，计算函数的选择序列
p = np.add.accumulate(p)
rands = np.random.rand(n)
select = np.ones(n, dtype=np.int)*(n-1)
for i, x in enumerate(p[::-1]):
select[rands<x] = len(p)-i-1
# 结果的初始化
result = np.zeros((n,2), dtype=np.float)
c = np.zeros(n, dtype=np.float)
for i in xrange(n):
eqidx = select[i] # 所选的函数下标
tmp = np.dot(eq[eqidx], pos) # 进行迭代
pos[:2] = tmp # 更新迭代向量
# 保存结果
result[i] = tmp
c[i] = eqidx
return result[:,0], result[:, 1], c
start = time.clock()
p1, p2, p3, p4 = 0.01, 0.07, 0.07, 0.85
#p1, p2, p3, p4 = 0.11, 0.17, 0.17, 0.55
x, y, c = ifs([p1,p2,p3,p4],[eq1,eq2,eq3,eq4],
[0,0], 100000)
print time.clock() - start
pl.figure(figsize=(6,6))
pl.subplot(121)
pl.scatter(x, y, s=1, c="g", marker="s",
linewidths=0)
pl.axis("equal")
pl.axis("off")
pl.subplot(122)
pl.scatter(x, y, s=1,c = c, marker="s",
linewidths=0)
pl.axis("equal")
pl.axis("off")
pl.subplots_adjust(left=0,right=1,bottom=0,top=1,
wspace=0,hspace=0)
pl.gcf().patch.set_facecolor("white")
pl.show() |
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